Falsch.

Auch wenn Arbeitgeber und Arbeitnehmerin keinen schriftlichen Arbeitsvertrag geschlossen haben und die Arbeitnehmerin tatsächlich arbeitet, liegt rechtlich gesehen ein Arbeitsvertrag vor. Der Arbeitsvertrag unterliegt in der Regel keinen Formvorschriften, er kann also mündlich, schriftlich oder durch stillschweigende Vereinbarung abgeschlossen werden.

Die Arbeitnehmerin hat aber spätestens einen Monat nach dem vereinbarten Beginn des Arbeitsverhältnisses nach § 2 NachweisG einen Anspruch darauf, dass die wesentlichen Vertragsbedingungen schriftlich niedergelegt werden. Hierzu gehören insbesondere der Zeitpunkt des Beginns des Arbeitsverhältnisses, der Arbeitsort, die Tätigkeitsbeschreibung der Arbeitnehmerin, die Höhe des Arbeitsentgelts und die Dauer des Erholungsurlaubes.

Etwas anderes gilt für befristete Arbeitsverhältnisse: Hier muss zumindest die Befristungsabrede für deren Wirksamkeit schriftlich geschlossen werden, vgl. § 14 Abs.4 TzBfG. Hierfür gilt die Schriftform: Beide Parteien müssen die Befristungsabrede auf derselben Urkunde eigenhändig unterzeichnen. Auf Arbeitgeberseite muss die Befristung durch die Geschäftsführung oder einen hierfür zuständigen Mitarbeiter des Arbeitgebers, z.B. die Personalleiterin, unterschrieben werden. Anderenfalls entsteht ein unbefristetes Arbeitsverhältnis, da die Befristung unwirksam ist.